Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{4} + y^{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ als ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x + 2 y^{3})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.6.2.2

Bringe ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Schritt 3.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$

Schritt 3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.9.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$ um.

$(4 x^{3} + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $4 x^{3} + 2 y y'$ mit $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.3

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.4

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (y y')$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 3.9.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 2 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 + 2 (3 y^{2} y')$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 + 6 y^{2} y'$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$6 y^{2} y' + 5$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 6 y^{2} y' + 5$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} + y y' = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.1.1.2

Stelle $y$ und $y'$ um.

$2 x^{3} + y' y = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $(6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{3} + y' y = 6 y^{2} y' {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Bewege $y^{2}$ .

$2 x^{3} + y' y = 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} + y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y' y$ aus $y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $y' y$ aus $y' y$ heraus.

$y' y \cdot 1 - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Schritt 6.3.3.2

Faktorisiere $y' y$ aus $- 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Schritt 6.3.3.3

Faktorisiere $y' y$ aus $y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ durch $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ durch $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.2.4

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$