Analysis Beispiele

$y^{5} + X^{2} y^{3} = 1 + X^{4} y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d X} (y^{5} + X^{2} y^{3}) = \frac{d}{d X} (1 + X^{4} y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{5} + X^{2} y^{3}$ nach $X$ $\frac{d}{d X} [y^{5}] + \frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d X} [y^{5}] + \frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d X} [y^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = X^{5}$ und $g (X) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d X} [y] + \frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d X} [y] + \frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d X} [y] + \frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d X} [y]$ als $y'$ um.

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d X} [X^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (X) g (X)]$ gleich $f (X) \frac{d}{d X} [g (X)] + g (X) \frac{d}{d X} [f (X)]$ ist mit $f (X) = X^{2}$ und $g (X) = y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + X^{2} \frac{d}{d X} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = X^{3}$ und $g (X) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$5 y^{4} y' + X^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d X} [y]) + y^{3} \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + X^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d X} [y]) + y^{3} \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$5 y^{4} y' + X^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d X} [y]) + y^{3} \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d X} [y]$ als $y'$ um.

$5 y^{4} y' + X^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 y^{4} y' + X^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 X)$

Schritt 2.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $X^{2}$ .

$5 y^{4} y' + 3 \cdot X^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 X)$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + 3 X^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} X$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + X^{4} y$ nach $X$ $\frac{d}{d X} [1] + \frac{d}{d X} [X^{4} y]$ .

$\frac{d}{d X} [1] + \frac{d}{d X} [X^{4} y]$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $X$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d X} [X^{4} y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d X} [X^{4} y]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (X) g (X)]$ gleich $f (X) \frac{d}{d X} [g (X)] + g (X) \frac{d}{d X} [f (X)]$ ist mit $f (X) = X^{4}$ und $g (X) = y$ .

$0 + X^{4} \frac{d}{d X} [y] + y \frac{d}{d X} [X^{4}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d X} [y]$ als $y'$ um.

$0 + X^{4} y' + y \frac{d}{d X} [X^{4}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + X^{4} y' + y (4 X^{3})$

Schritt 3.2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$0 + X^{4} y' + 4 y X^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Addiere $0$ und $X^{4} y' + 4 y X^{3}$ .

$X^{4} y' + 4 y X^{3}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$X^{4} y' + 4 X^{3} y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 y^{4} y' + 3 X^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} X = X^{4} y' + 4 X^{3} y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $X^{4} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{4} y' + 3 X^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} X - X^{4} y' = 4 X^{3} y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 y^{3} X$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{4} y' + 3 X^{2} y^{2} y' - X^{4} y' = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $5 y^{4} y' + 3 X^{2} y^{2} y' - X^{4} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $5 y^{4} y'$ heraus.

$y' (5 y^{4}) + 3 X^{2} y^{2} y' - X^{4} y' = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 X^{2} y^{2} y'$ heraus.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 X^{2} y^{2}) - X^{4} y' = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- X^{4} y'$ heraus.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 X^{2} y^{2}) + y' (- X^{4}) = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 y^{4}) + y' (3 X^{2} y^{2})$ heraus.

$y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2}) + y' (- X^{4}) = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2}) + y' (- X^{4})$ heraus.

$y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}) = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}) = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$ durch $5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}) = 4 X^{3} y - 2 y^{3} X$ durch $5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}$ .

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4})}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}} = \frac{4 X^{3} y}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}} + \frac{- 2 y^{3} X}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4})}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}} = \frac{4 X^{3} y}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}} + \frac{- 2 y^{3} X}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 X^{3} y}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}} + \frac{- 2 y^{3} X}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 X^{3} y - 2 y^{3} X}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $2 X y$ aus $4 X^{3} y - 2 y^{3} X$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $2 X y$ aus $4 X^{3} y$ heraus.

$y' = \frac{2 X y (2 X^{2}) - 2 y^{3} X}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $2 X y$ aus $- 2 y^{3} X$ heraus.

$y' = \frac{2 X y (2 X^{2}) + 2 X y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $2 X y$ aus $2 X y (2 X^{2}) + 2 X y (- y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 X y (2 X^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d X}$ .

$\frac{d y}{d X} = \frac{2 X y (2 X^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 X^{2} y^{2} - X^{4}}$