Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 12 \cdot 1$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 12$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x + 12$ .

$2 x + 12$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x + 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$2 x + 12 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 12$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 12$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 12$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 12}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 12}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 12$ durch $2$ .

$x = - 6$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 6$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot {(- 6)}^{3} + 6 {(- 6)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot - 216 + 6 {(- 6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 216$ heraus.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 72)) + 6 {(- 6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 6) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 72) + 6 {(- 6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 6) = - 72 + 6 {(- 6)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = - 72 + 6 \cdot 36$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $36$ .

$f (- 6) = - 72 + 216$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $- 72$ und $216$ .

$f (- 6) = 144$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 6$ in $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 6, 144)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 6, 144)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 2 (- 6.1) + 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = - 12.2 + 12$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 12.2$ und $12$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.2$ .

$- 0.2$

Schritt 5.3

Bei $- 6.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.2$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 6)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 6)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5.9$ .

$f'' (- 5.9) = 2 (- 5.9) + 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5.9$ .

$f'' (- 5.9) = - 11.8 + 12$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 11.8$ und $12$ .

$f'' (- 5.9) = 0.2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.2$ .

$0.2$

Schritt 6.3

Bei $- 5.9$ ist die zweite Ableitung $0.2$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 6, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 6, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- 6, 144)$ .

$(- 6, 144)$

Schritt 8