Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{12} \cdot ((\sec^{2} (3 x)) (\tan^{2} (3 x) - 1))$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\sec^{2} (3 x)$ mit $\tan^{2} (3 x) - 1$ .

$y = \frac{1}{12} \cdot (\sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) - 1))$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{12} \cdot (\sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) - 1))$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} \cdot (\sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) - 1)))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\sec^{2} (3 x)$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} \cdot (\tan^{2} (3 x) - 1)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{\sec^{2} (3 x)}{12}$ und $g (x) = \tan^{2} (3 x) - 1$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x) - 1] + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan^{2} (3 x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (3 x)$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (3 x)$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.5.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6

Differenziere.

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Schritt 4.6.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) + 0) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.6.1

Addiere $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ und $0$ .

$\frac{\sec^{2} (3 x)}{12} (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.6.2

Kombiniere $6$ und $\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}$ .

$\frac{6 \sec^{2} (3 x)}{12} (\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\tan (3 x)$ und $\frac{6 \sec^{2} (3 x)}{12}$ .

$\frac{\tan (3 x) (6 \sec^{2} (3 x))}{12} \sec^{2} (3 x) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.6.6.4

Kombiniere $\frac{\tan (3 x) (6 \sec^{2} (3 x))}{12}$ und $\sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{\tan (3 x) (6 \sec^{2} (3 x)) \sec^{2} (3 x)}{12} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.7

Multipliziere $\sec^{2} (3 x)$ mit $\sec^{2} (3 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Bewege $\sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{\tan (3 x) (6 (\sec^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x)))}{12} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (3 x) (6 {\sec (3 x)}^{2 + 2})}{12} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\tan (3 x) (6 \sec^{4} (3 x))}{12} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.8.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\tan (3 x)$ .

$\frac{6 \cdot \tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{12} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 4.8.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \tan (3 x) \sec^{4} (3 x)$ heraus.

$\frac{6 (\tan (3 x) \sec^{4} (3 x))}{12} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 (\tan (3 x) \sec^{4} (3 x))}{6 \cdot 2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (\tan (3 x) \sec^{4} (3 x))}{6 \cdot 2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}]$

Schritt 4.8.3

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sec^{2} (3 x)}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) (\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Schritt 4.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{1}{12} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Schritt 4.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{1}{12} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Schritt 4.9.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{1}{12} (2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Schritt 4.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.10.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2}{12} (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])$

Schritt 4.10.2

Kombiniere $\sec (3 x)$ und $\frac{2}{12}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec (3 x) \cdot 2}{12} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4.10.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (3 x)$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2 \cdot \sec (3 x)}{12} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4.10.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 4.10.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sec (3 x)$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2 (\sec (3 x))}{12} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4.10.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2 \sec (3 x)}{2 \cdot 6} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4.10.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2 \sec (3 x)}{2 \cdot 6} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4.10.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec (3 x)}{6} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $3 x$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec (3 x)}{6} (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.11.2

Die Ableitung von $\sec (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec (3 x)}{6} (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.11.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $3 x$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec (3 x)}{6} (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.12

Kombiniere $\sec (3 x)$ und $\frac{\sec (3 x)}{6}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec (3 x) \sec (3 x)}{6} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.13

Potenziere $\sec (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)}{6} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.14

Potenziere $\sec (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)}{6} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{{\sec (3 x)}^{1 + 1}}{6} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.16.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} (\tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.16.2

Kombiniere $\tan (3 x)$ und $\frac{\sec^{2} (3 x)}{6}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{6} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.17

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{6} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.18

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.18.1

Kombiniere $3$ und $\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{6}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{3 (\tan (3 x) \sec^{2} (3 x))}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{3 (\tan (3 x) \sec^{2} (3 x))}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{3 (\tan (3 x) \sec^{2} (3 x))}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2} \cdot 1$

Schritt 4.20

Mutltipliziere $\tan^{2} (3 x) - 1$ mit $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.21

Um $(\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.22

Kombiniere $(\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)}{2} + \frac{(\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 4.24

Kombiniere $2$ und $\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2 (\tan (3 x) \sec^{2} (3 x))}{2}}{2}$

Schritt 4.25

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.25.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + (\tan^{2} (3 x) - 1) \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}}{2}$

Schritt 4.25.2

Dividiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ durch $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + (\tan^{2} (3 x) - 1) (\tan (3 x) \sec^{2} (3 x))}{2}$

Schritt 4.26

Vereinfache.

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Schritt 4.26.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + (\tan^{2} (3 x) \tan (3 x) - 1 \tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - 1 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.26.3.1

Faktorisiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ aus $\tan (3 x) \sec^{4} (3 x) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - 1 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ heraus.

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Schritt 4.26.3.1.1

Faktorisiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ aus $\tan (3 x) \sec^{4} (3 x)$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x)) + \tan^{2} (3 x) \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - 1 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3.1.2

Faktorisiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ aus $\tan^{2} (3 x) \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x)) + \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 x)) - 1 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3.1.3

Faktorisiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ aus $- 1 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x)) + \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 x)) + \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (- 1)}{2}$

Schritt 4.26.3.1.4

Faktorisiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ aus $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x)) + \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan (3 x) \tan (3 x))$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x)) + \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (- 1)}{2}$

Schritt 4.26.3.1.5

Faktorisiere $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ aus $\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x)) + \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (- 1)$ heraus.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x) - 1)}{2}$

Schritt 4.26.3.2

Bewege $- 1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\sec^{2} (3 x) - 1 + \tan (3 x) \tan (3 x))}{2}$

Schritt 4.26.3.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) + \tan (3 x) \tan (3 x))}{2}$

Schritt 4.26.3.4

Multipliziere $\tan (3 x) \tan (3 x)$ .

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Schritt 4.26.3.4.1

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) + \tan^{1} (3 x) \tan (3 x))}{2}$

Schritt 4.26.3.4.2

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) + \tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x))}{2}$

Schritt 4.26.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) + {\tan (3 x)}^{1 + 1})}{2}$

Schritt 4.26.3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (\tan^{2} (3 x) + \tan^{2} (3 x))}{2}$

Schritt 4.26.3.5

Addiere $\tan^{2} (3 x)$ und $\tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{\tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (2 \tan^{2} (3 x))}{2}$

Schritt 4.26.3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3.7

Multipliziere $\tan (3 x)$ mit $\tan^{2} (3 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.26.3.7.1

Bewege $\tan^{2} (3 x)$ .

$\frac{2 (\tan^{2} (3 x) \tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3.7.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (3 x)$ mit $\tan (3 x)$ .

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Schritt 4.26.3.7.2.1

Potenziere $\tan (3 x)$ mit $1$ .

$\frac{2 (\tan^{2} (3 x) \tan^{1} (3 x)) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\tan (3 x)}^{2 + 1} \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.3.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \tan^{3} (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.26.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan^{3} (3 x) \sec^{2} (3 x)}{2}$

Schritt 4.26.4.2

Dividiere $\tan^{3} (3 x) \sec^{2} (3 x)$ durch $1$ .

$\tan^{3} (3 x) \sec^{2} (3 x)$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \tan^{3} (3 x) \sec^{2} (3 x)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan^{3} (3 x) \sec^{2} (3 x)$