Analysis Beispiele

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.13.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.13.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.14

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ um.

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{2}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Schritt 6.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 6.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Schritt 6.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 1^{3}$

Schritt 6.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = 1^{3}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 2$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 2$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{3 {(1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (1) = 1$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{2}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.5$ , aus dem Intervall $(0, 1)$ in die erste Ableitung $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5$ .

$f' (0.5) = \frac{2}{{(0.5)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.2.1.1

Potenziere $0.5$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.5) = \frac{2}{0.79370052} - 2$

Schritt 15.3.2.1.2

Dividiere $2$ durch $0.79370052$ .

$f' (0.5) = 2.51984209 - 2$

Schritt 15.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $2.51984209$ .

$f' (0.5) = 0.51984209$

Schritt 15.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.51984209$ .

$0.51984209$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (4) = \frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 15.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Maximum.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16