Analysis Beispiele

$u = v^{2} \sqrt{10 v - 9}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 u' - 9}$ als ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = {u'}^{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $u$ nach $u'$ ist $u'$ .

$u'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ gleich $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ ist mit $f (u') = {u'}^{2}$ und $g (u') = {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ ist $f' (g (u')) g' (u')$ , mit $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ und $g (u') = 10 u' - 9$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9] + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 u' - 9$ nach $u'$ $\frac{d}{d v} [10 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [10 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.9

Da $10$ konstant bezüglich $u'$ ist, ist die Ableitung von $10 u'$ nach $u'$ gleich $10 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ gleich $n {u'}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.12

Da $- 9$ konstant bezüglich $u'$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $u'$ gleich $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10 + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 10}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von ${u'}^{2}$ .

$\frac{10 \cdot {u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere $2$ aus $10 {u'}^{2}$ heraus.

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Schritt 4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ gleich $n {u'}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Schritt 4.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$

Schritt 4.17

Vereinige $\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 4.17.1

Bewege ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.17.2

Um $2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18

Multipliziere ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.1

Bewege ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' ({(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{1}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.19

Vereinfache $2 u' {(10 u' - 9)}^{1}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' (10 u' - 9)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20

Vereinfache.

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Schritt 4.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.20.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 u' u' + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.2

Multipliziere $u'$ mit $u'$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.20.2.1.2.1

Bewege $u'$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 (u' u') + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.2.2

Mutltipliziere $u'$ mit $u'$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 20 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 20 {u'}^{2} - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.2

Addiere $5 {u'}^{2}$ und $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{25 {u'}^{2} - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3

Faktorisiere $u'$ aus $25 {u'}^{2} - 18 u'$ heraus.

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Schritt 4.20.3.1

Faktorisiere $u'$ aus $25 {u'}^{2}$ heraus.

$\frac{u' (25 u') - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3.2

Faktorisiere $u'$ aus $- 18 u'$ heraus.

$\frac{u' (25 u') + u' \cdot - 18}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3.3

Faktorisiere $u'$ aus $u' (25 u') + u' \cdot - 18$ heraus.

$\frac{u' (25 u' - 18)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$u' = \frac{u' (25 u' - 18)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 7

Ersetze $u'$ durch $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$