Analysis Beispiele

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{t}$ als $t^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{7}}$ als $t^{\frac{7}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $u$ nach $t$ ist $u'$ .

$u'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $7$ von $1$ .

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t^{\frac{7}{2}}$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

Schritt 4.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

Schritt 4.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

Schritt 4.3.7

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 4.3.8

Kombiniere $6$ und $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

Schritt 4.3.10

Faktorisiere $2$ aus $42 t^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

Schritt 4.3.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 4.3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

Schritt 4.3.11.4

Dividiere $21 t^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.4.3

Stelle die Terme um.

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

Schritt 6

Ersetze $u'$ durch $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$