Analysis Beispiele

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3}$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{5}$ nach $w$ gleich $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{2}$ und $g (w) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d w} [y]$ als $y'$ um.

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $\frac{y \cdot - 2}{5}$ und $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 y^{2}}{3}$ nach $w$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ ist $f' (g (w)) g' (w)$ , mit $f (w) = w^{2}$ und $g (w) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d w} [y]$ als $y'$ um.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $y$ und $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $\frac{y \cdot 8}{3}$ und $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Schritt 3.3.8

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $\frac{2 y y'}{5}$ von $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Schritt 3.4.2

Um $- \frac{2 y y'}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Schritt 3.4.3

Um $\frac{8 y y'}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.4.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 y y'}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{8 y y'}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Schritt 3.4.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Schritt 3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Schritt 3.4.8

Addiere $- 6 y y'$ und $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{34 y y'}{15} = 1$ um.

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $34$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $34$ aus $34 y y'$ heraus.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{15}{34}$ mit $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = \frac{15}{34}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = \frac{15}{34}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{15}{34}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$