Analysis Beispiele

$w = \frac{3}{t^{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} (\frac{3}{t^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $w$ nach $t$ ist $w'$ .

$w'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{t^{3}}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{t^{3}}$ als ${(t^{3})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$3 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 9 t^{- 4}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{t^{4}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 9}{t^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{t^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$w' = - \frac{9}{t^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $w'$ durch $\frac{d w}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = - \frac{9}{t^{4}}$