Analysis Beispiele

$2 y^{2} = \frac{5 x - 3}{5 x + 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 3}{5 x + 3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x - 3$ und $g (x) = 5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 3] - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(5 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{(5 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $5 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 3) - (5 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 3]}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [3])}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.12.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - (5 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.12.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 3) - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 3 - 5 (5 x - 3)}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 3 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 (5 x) + 5 \cdot 3 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 3$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Subtrahiere $5 (5 x)$ von $5 (5 x)$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 0 - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Addiere $5 \cdot 3$ und $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 - 5 \cdot - 3}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{15 + 15}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $15$ und $15$ .

$\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$ durch $4 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}$ durch $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}}}{4 y}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{30}{{(5 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Schritt 5.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{30 \cdot 1}{{(5 x + 3)}^{2} (4 y)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $30 \cdot 1$ heraus.

$y' = \frac{2 (15 \cdot 1)}{{(5 x + 3)}^{2} (4 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus ${(5 x + 3)}^{2} (4 y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (15 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 3)}^{2} (2 y))}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (15 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 3)}^{2} (2 y))}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{15 \cdot 1}{{(5 x + 3)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$y' = \frac{15}{{(5 x + 3)}^{2} \cdot 2 y}$

Schritt 5.3.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(5 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{15}{2 \cdot {(5 x + 3)}^{2} y}$

Schritt 5.3.4.3

Stelle die Faktoren in $\frac{15}{2 {(5 x + 3)}^{2} y}$ um.

$y' = \frac{15}{2 y {(5 x + 3)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15}{2 y {(5 x + 3)}^{2}}$