Analysis Beispiele

$2 x^{3} = {(3 x y + 1)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} ({(3 x y + 1)}^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(3 x y + 1)}^{2}$ als $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 1) (3 x y + 1)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 1) + 1 (3 x y + 1)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y + 1)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $3 x y$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1 \cdot 1]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1]$

Schritt 3.3.2

Addiere $3 x y$ und $3 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1]$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.9

Differenziere.

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Schritt 3.9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.9.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.11

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + 0$

Schritt 3.15

Addiere $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$ und $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Schritt 3.16

Vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Schritt 3.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Schritt 3.16.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.16.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Schritt 3.16.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x^{2} = 18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$ um.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $18 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2} - 18 y^{2} x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $6 x y'$ aus $18 x^{2} y y' + 6 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $6 x y'$ aus $18 x^{2} y y'$ heraus.

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $6 x y'$ aus $6 x y'$ heraus.

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1 = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $6 x y'$ aus $6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1$ heraus.

$6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ durch $6 x (3 x y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ durch $6 x (3 x y + 1)$ .

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x y + 1$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{2}}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 18 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x (3 x y + 1)$ heraus.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.6.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 y$ heraus.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x (3 x y + 1)$ heraus.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Schritt 5.4.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Schritt 5.4.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.3

Um $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x y + 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{(3 x y + 1) x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(3 x y + 1) x$ um.

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{x (3 x y + 1)} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x - y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{x \cdot x - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 5.4.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$