Analysis Beispiele

$5 x^{3} + x y^{2} = 5 x^{3} y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} + x y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$15 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$15 x^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$15 x^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$15 x^{2} + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$15 x^{2} + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 x^{2} + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$15 x^{2} + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$15 x^{2} + 2 x y y' + y^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3} y^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$5 (3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}))$

Schritt 3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$5 (3 x^{3} y^{2} y' + 3 \cdot y^{3} x^{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (3 x^{3} y^{2} y') + 5 (3 y^{3} x^{2})$

Schritt 3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 (x^{3} y^{2} y') + 5 (3 y^{3} x^{2})$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x^{3} y^{2} y' + 15 y^{3} x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y' = 15 x^{3} y^{2} y' + 15 y^{3} x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $15 x^{3} y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 x^{2} + y^{2} + 2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $15 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x y y'$ aus $2 x y y' - 15 x^{3} y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x y y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$x y y' \cdot 2 - 15 x^{3} y^{2} y' = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x y y'$ aus $- 15 x^{3} y^{2} y'$ heraus.

$x y y' \cdot 2 + x y y' (- 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x y y'$ aus $x y y' \cdot 2 + x y y' (- 15 x^{2} y)$ heraus.

$x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$ durch $x y (2 - 15 x^{2} y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x y y' (2 - 15 x^{2} y) = 15 y^{3} x^{2} - 15 x^{2} - y^{2}$ durch $x y (2 - 15 x^{2} y)$ .

$\frac{x y y' (2 - 15 x^{2} y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y y' (2 - 15 x^{2} y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 - 15 x^{2} y)}{y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 - 15 x^{2} y)}{y (2 - 15 x^{2} y)} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 - 15 x^{2} y)}{2 - 15 x^{2} y} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - 15 x^{2} y$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 - 15 x^{2} y)}{2 - 15 x^{2} y} = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{15 y^{3} x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $15 y^{3} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (2 - 15 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{y (x (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (15 y^{2} x^{2})}{y (x (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{15 y^{2} x^{2}}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $15 y^{2} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (15 y^{2} x)}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (15 y^{2} x)}{x (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{- 15 x^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 15 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y (2 - 15 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x (y (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{x (- 15 x)}{x (y (2 - 15 x^{2} y))} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} + \frac{- 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (2 - 15 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{y (x (2 - 15 x^{2} y))}$

Schritt 5.4.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{y (- y)}{y (x (2 - 15 x^{2} y))}$

Schritt 5.4.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} + \frac{- y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.2

Um $\frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y} \cdot \frac{y}{y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 - 15 x^{2} y) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{15 y^{2} x}{2 - 15 x^{2} y}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 y^{2} x y}{(2 - 15 x^{2} y) y} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 - 15 x^{2} y) y$ um.

$y' = \frac{15 y^{2} x y}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{15 y^{2} x y - 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.5.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 y^{2} x y - 15 x$ heraus.

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Schritt 5.4.3.5.1.1

Faktorisiere $15 x$ aus $15 y^{2} x y$ heraus.

$y' = \frac{15 x (y^{2} y) - 15 x}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.1.2

Faktorisiere $15 x$ aus $- 15 x$ heraus.

$y' = \frac{15 x (y^{2} y) + 15 x (- 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.1.3

Faktorisiere $15 x$ aus $15 x (y^{2} y) + 15 x (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{15 x (y^{2} y - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.5.2.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.4.3.5.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 x (y^{2} y^{1} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{15 x (y^{2 + 1} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{15 x (y^{3} - 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y' = \frac{15 x (y^{3} - 1^{3})}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.4.3.5.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.5.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y' = \frac{15 x ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.6

Um $\frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.7

Um $- \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.4.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (2 - 15 x^{2} y) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1)}{y (2 - 15 x^{2} y)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{y (2 - 15 x^{2} y) x} - \frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.4.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{y}{x (2 - 15 x^{2} y)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{y (2 - 15 x^{2} y) x} - \frac{y \cdot y}{x (2 - 15 x^{2} y) y}$

Schritt 5.4.3.8.3

Stelle die Faktoren von $y (2 - 15 x^{2} y) x$ um.

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{x y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y \cdot y}{x (2 - 15 x^{2} y) y}$

Schritt 5.4.3.8.4

Stelle die Faktoren von $x (2 - 15 x^{2} y) y$ um.

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x}{x y (2 - 15 x^{2} y)} - \frac{y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{15 x (y - 1) (y^{2} + y + 1) x - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.10.1.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{15 (x \cdot x) (y - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{15 x^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{(15 x^{2} y + 15 x^{2} \cdot - 1) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$y' = \frac{(15 x^{2} y - 15 x^{2}) (y^{2} + y + 1) - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.4

Multipliziere $(15 x^{2} y - 15 x^{2}) (y^{2} + y + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y' = \frac{15 x^{2} y \cdot y^{2} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.10.5.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.10.5.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$y' = \frac{15 x^{2} (y^{2} y) + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.4.3.10.5.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} (y^{2} y^{1}) + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{15 x^{2} y^{2 + 1} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y \cdot y + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.10.5.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} (y \cdot y) + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y \cdot 1 - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.3

Mutltipliziere $15$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} \cdot 1 - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.5.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y^{2} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y^{2} - 15 x^{2} y - 15 x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.10.6.1

Subtrahiere $15 x^{2} y^{2}$ von $15 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y + 0 - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.6.2

Addiere $15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y$ und $0$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 15 x^{2} y - 15 x^{2} y - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.6.3

Subtrahiere $15 x^{2} y$ von $15 x^{2} y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} + 0 - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.6.4

Addiere $15 x^{2} y^{3}$ und $0$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y \cdot y}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.3.10.7.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - (y \cdot y)}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 5.4.3.10.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} y^{3} - 15 x^{2} - y^{2}}{x y (2 - 15 x^{2} y)}$