Analysis Beispiele

$5 x + 7 y = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5 x + 7 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 7 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [7 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 y$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 7 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 + 7 y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$7 y' + 5$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$7 y' + 5 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y' = - 5$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y' = - 5$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y' = - 5$ durch $7$ .

$\frac{7 y'}{7} = \frac{- 5}{7}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y'}{7} = \frac{- 5}{7}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5}{7}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5}{7}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{7}$