Analysis Beispiele

$8 \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$

Schritt 1

Schreibe die linke Seite um mit rationalen Exponenten.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 4$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.11

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Schritt 3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Schritt 3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Schritt 3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Schritt 3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $y'$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Schritt 3.3.10

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = - 2 \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{- 2 \cdot 4}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y' = \frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{- 8}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$