Analysis Beispiele

$7 y - 2 x^{2} = x - 9$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (7 y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (x - 9)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 y - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 y$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$7 y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$7 y' - 2 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$7 y' - 4 x$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 4 x + 7 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Schritt 3.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 x + 7 y' = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 y' = 1 + 4 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y' = 1 + 4 x$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y' = 1 + 4 x$ durch $7$ .

$\frac{7 y'}{7} = \frac{1}{7} + \frac{4 x}{7}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y'}{7} = \frac{1}{7} + \frac{4 x}{7}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{7} + \frac{4 x}{7}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{7} + \frac{4 x}{7}$