Analysis Beispiele

$y - x^{2} y^{2} = 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y - x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x^{2} y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y' - (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y' - (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' - (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x))$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y' - (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Schritt 2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y' - (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' - (2 x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' - 2 (x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' - 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x + y'$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x + y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2 y^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} y y' + y' = 2 y^{2} x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x^{2} y y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x^{2} y y'$ heraus.

$y' (- 2 x^{2} y) + y' = 2 y^{2} x$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 2 x^{2} y) + y' = 2 y^{2} x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 2 x^{2} y) + y' \cdot 1 = 2 y^{2} x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 x^{2} y) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x$ durch $- 2 x^{2} y + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x$ durch $- 2 x^{2} y + 1$ .

$\frac{y' (- 2 x^{2} y + 1)}{- 2 x^{2} y + 1} = \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{2} y + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x^{2} y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 x^{2} y + 1)}{- 2 x^{2} y + 1} = \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{2} y + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{2} y + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- (2 x^{2} y) + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- (2 x^{2} y) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} y) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- (2 x^{2} y - 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- (2 x^{2} y - 1)$ als $- 1 (2 x^{2} y - 1)$ um.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- 1 (2 x^{2} y - 1)}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 1}$