Analysis Beispiele

$x y - x + y = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x y - x + y) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y' + y - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x y' + y - 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y - 1 + y'$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + y - 1 + y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 1 + y' = - y$

Schritt 5.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y' = - y + 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + y' = - y + 1$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' x + y' = - y + 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' x + y' \cdot 1 = - y + 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (x + 1) = - y + 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) = - y + 1$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) = - y + 1$ durch $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y + 1}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (y) + 1}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 1)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{- (y - 1)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (y - 1)$ als $- 1 (y - 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (y - 1)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y - 1}{x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 1}{x + 1}$