Analysis Beispiele

$\sum_{i = 0}^{5} 5^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{5^{i + 1}}{5^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5^{i + 1}$ und $5^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $5^{i}$ aus $5^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{5}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$r = 5$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $i$ in $5^{i}$ ein.

$a = 5^{0}$

Schritt 3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 1$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$1 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$ mit $1$ .

$\frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $5$ mit $6$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15625$ .

$\frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $15625$ von $1$ .

$\frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 15624}{1 - 5}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{- 15624}{- 4}$

Schritt 5.4

Dividiere $- 15624$ durch $- 4$ .

$3906$