Analysis Beispiele

$x \cos (y) = y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ um.

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (y) + \cos (y) - y' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (y) - y' = - \cos (y)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sin (y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sin (y)$ heraus.

$y' (- x \sin (y)) - y' = - \cos (y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot - 1 = - \cos (y)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x \sin (y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- x \sin (y) - 1) = - \cos (y)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sin (y) - 1) = - \cos (y)$ durch $- x \sin (y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x \sin (y) - 1) = - \cos (y)$ durch $- x \sin (y) - 1$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) - 1)}{- x \sin (y) - 1} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x \sin (y) - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x \sin (y) - 1)}{- x \sin (y) - 1} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (y)$ heraus.

$y' = - \frac{\cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - \frac{\cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (1)}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (y)) - 1 (1)$ heraus.

$y' = - \frac{\cos (y)}{- (x \sin (y) + 1)}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.5.1

Schreibe $- (x \sin (y) + 1)$ als $- 1 (x \sin (y) + 1)$ um.

$y' = - \frac{\cos (y)}{- 1 (x \sin (y) + 1)}$

Schritt 5.5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$

Schritt 5.5.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$

Schritt 5.5.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$ mit $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (y)}{x \sin (y) + 1}$