Analysis Beispiele

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + 2 y'$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$2 y' + 1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.8

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.9

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2 y^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Schritt 6.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $2 y^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ durch $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ durch $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 6.3.3.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$