Analysis Beispiele

$\sin (x) - \cos (y) - 2 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) - \cos (y) - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (y) - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x) - (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + 1 (\sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $\cos (x) + \sin (y) y'$ und $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y'$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$\sin (y) y' + \cos (x)$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\sin (y) y' + \cos (x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $\sin (y) y' + \cos (x)$ um.

$y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \sin (y) = - \cos (x)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' \sin (y) = - \cos (x)$ durch $\sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \sin (y) = - \cos (x)$ durch $\sin (y)$ .

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.4.1

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 5.3.3.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \csc (y))$

Schritt 5.3.3.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y' = - \cos (x) \csc (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \cos (x) \csc (y)$