Analysis Beispiele

$\sin (x y) = 2 x + 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ um.

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = 2$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ durch $x \cos (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ durch $x \cos (x y)$ .

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x y)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x y)}$ nach $\sec (x y)$ um.

$y' = \frac{2}{x} \sec (x y) + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x y)$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$