Analysis Beispiele

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + y e^{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + y e^{x^{2}})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{5} + x^{2} y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

Schritt 2.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y e^{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y e^{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 + y (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + y (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$0 + y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Addiere $0$ und $y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$ .

$y e^{x^{2}} (2 x) + e^{x^{2}} y'$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$2 e^{x^{2}} x y + e^{x^{2}} y'$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x y + e^{x^{2}} y'$ um.

$2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $2 x y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} y'$ um.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = 2 x y e^{x^{2}} + y' e^{x^{2}}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y' e^{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 y^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $5 y^{4} y'$ heraus.

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 x^{2} y^{2} y'$ heraus.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - y' e^{x^{2}} = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' e^{x^{2}}$ heraus.

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- 1 e^{x^{2}})$ heraus.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - 1 e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 e^{x^{2}}$ als $- e^{x^{2}}$ um.

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ durch $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}) = 2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ durch $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ .

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} = \frac{2 x y e^{x^{2}}}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x y e^{x^{2}}}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Schritt 5.6.3.2

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y e^{x^{2}} - 2 y^{3} x$ heraus.

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Schritt 5.6.3.2.1

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y e^{x^{2}}$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Schritt 5.6.3.2.2

Faktorisiere $2 x y$ aus $- 2 y^{3} x$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Schritt 5.6.3.2.3

Faktorisiere $2 x y$ aus $2 x y (e^{x^{2}}) + 2 x y (- y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 x y (e^{x^{2}} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (e^{x^{2}} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - e^{x^{2}}}$