Analysis Beispiele

$y^{4} - 2 y = 4 x^{3} + x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 2 y) = \frac{d}{d x} (4 x^{3} + x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{4} - 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 y^{3} y' - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y^{3} y' - 2 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} + 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y^{3} y' - 2 y' = 12 x^{2} + 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $4 y^{3} y' - 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$2 y' (2 y^{3}) - 2 y' = 12 x^{2} + 1$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y'$ heraus.

$2 y' (2 y^{3}) + 2 y' \cdot - 1 = 12 x^{2} + 1$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (2 y^{3}) + 2 y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y' (2 y^{3} - 1) = 12 x^{2} + 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (2 y^{3} - 1) = 12 x^{2} + 1$ durch $2 (2 y^{3} - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (2 y^{3} - 1) = 12 x^{2} + 1$ durch $2 (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{2 y' (2 y^{3} - 1)}{2 (2 y^{3} - 1)} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (2 y^{3} - 1)}{2 (2 y^{3} - 1)} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{3} - 1$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{3} - 1)}{2 y^{3} - 1} = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{12 x^{2}}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (6 x^{2})}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.2

Um $\frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 y^{3} - 1) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{6 x^{2}}{2 y^{3} - 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{6 x^{2} \cdot 2}{(2 y^{3} - 1) \cdot 2} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 y^{3} - 1) \cdot 2$ um.

$y' = \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2 (2 y^{3} - 1)} + \frac{1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{6 x^{2} \cdot 2 + 1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y' = \frac{12 x^{2} + 1}{2 (2 y^{3} - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2} + 1}{2 (2 y^{3} - 1)}$