Analysis Beispiele

$y = (x) \tan (y)$

Schritt 1

Mutltipliziere $x$ mit $\tan (y)$ .

$y = x \tan (y)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \tan (y))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \cdot 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\tan (y)$ mit $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1

Stelle die Faktoren in $x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$ um.

$y' = x y' \sec^{2} (y) + \tan (y)$

Schritt 6.2

Subtrahiere $x y' \sec^{2} (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' - x y' \sec^{2} (y)$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \sec^{2} (y)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y))$ heraus.

$y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ durch $1 - x \sec^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ durch $1 - x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x \sec^{2} (y)$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$