Analysis Beispiele

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x + 1})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - x - - 1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Schritt 5.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} (y)}$

Schritt 5.3.4

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} y}$ um.

$y' = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$