Analysis Beispiele

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - y$ und $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Schritt 3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Schritt 3.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Schritt 3.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Schritt 3.8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.7.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.8

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Schritt 3.8.7.9

Addiere $- y y'$ und $y (- y')$ .

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Schritt 3.8.7.9.1

Stelle $y$ und $- 1$ um.

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

Schritt 3.8.7.9.2

Subtrahiere $y y'$ von $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

Schritt 3.8.8

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 y y'$ von $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y y'$ heraus.

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{2} y'$ heraus.

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (- 4 y)$ heraus.

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ heraus.

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ durch $x - 4 y - x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ durch $x - 4 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4 y - x^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.2.8.1

Schreibe $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ als $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$