Analysis Beispiele

$y^{2} + 2 y = 2 x + 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + 2 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 y' = 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' + 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' = 2$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot 1 = 2$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot 1$ heraus.

$2 y' (y + 1) = 2$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y + 1) = 2$ durch $2 (y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y + 1) = 2$ durch $2 (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (y + 1)}{2 (y + 1)} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y + 1)}{2 (y + 1)} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1}$