Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} + y - 4 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} + y - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3} + y - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y' + 0$

Schritt 2.5

Addiere $3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y'$ und $0$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' + y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 1 = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (3 y^{2} + 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} + 1) = - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} + 1) = - 3 x^{2}$ durch $3 y^{2} + 1$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$