Analysis Beispiele

$x^{3} y^{3} + x = 9$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{3} + x) = \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} y^{3} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2} y') + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 y^{3} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{3} y^{2} y' + 1 = - 3 y^{3} x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ durch $3 x^{3} y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{3} y^{2} y' = - 3 y^{3} x^{2} - 1$ durch $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{3} y^{2} y'}{3 x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y^{2} y'}{x^{3} y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{3} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- y^{3} x^{2})}{3 (x^{3} y^{2})} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{3} x^{2}}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{3} x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{x^{3} y^{2}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{3} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2} (- y x^{2})}{y^{2} x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- y x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{3}} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{2} (- y)}{x^{2} x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$