Analysis Beispiele

$x^{2} y = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Schritt 2.4

Stelle um.

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Schritt 2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$x^{2} y' + 2 x y$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x^{2} y' + 2 x y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} y' = - 2 x y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y' = - 2 x y$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y' = - 2 x y$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$