Analysis Beispiele

$x^{5} + y^{5} = 40 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + y^{5}) = \frac{d}{d x} (40 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + y^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + 5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40 x y$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$40 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$40 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$40 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$40 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x y' + 40 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' = 40 x y' + 40 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $40 x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} + 5 y^{4} y' - 40 x y' = 40 y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $5 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{4} y' - 40 x y' = 40 y - 5 x^{4}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 y^{4} y' - 40 x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 y^{4} y'$ heraus.

$5 y' y^{4} - 40 x y' = 40 y - 5 x^{4}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $5 y'$ aus $- 40 x y'$ heraus.

$5 y' y^{4} + 5 y' (- 8 x) = 40 y - 5 x^{4}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $5 y'$ aus $5 y' y^{4} + 5 y' (- 8 x)$ heraus.

$5 y' (y^{4} - 8 x) = 40 y - 5 x^{4}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $5 y' (y^{4} - 8 x) = 40 y - 5 x^{4}$ durch $5 (y^{4} - 8 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y' (y^{4} - 8 x) = 40 y - 5 x^{4}$ durch $5 (y^{4} - 8 x)$ .

$\frac{5 y' (y^{4} - 8 x)}{5 (y^{4} - 8 x)} = \frac{40 y}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y' (y^{4} - 8 x)}{5 (y^{4} - 8 x)} = \frac{40 y}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{4} - 8 x)}{y^{4} - 8 x} = \frac{40 y}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4} - 8 x$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{4} - 8 x)}{y^{4} - 8 x} = \frac{40 y}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{40 y}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $5$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $40 y$ heraus.

$y' = \frac{5 (8 y)}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 (8 y)}{5 (y^{4} - 8 x)} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{8 y}{y^{4} - 8 x} + \frac{- 5 x^{4}}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$y' = \frac{8 y}{y^{4} - 8 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{8 y}{y^{4} - 8 x} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (y^{4} - 8 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{8 y}{y^{4} - 8 x} + \frac{- x^{4}}{y^{4} - 8 x}$

Schritt 5.4.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{8 y}{y^{4} - 8 x} - \frac{x^{4}}{y^{4} - 8 x}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{8 y - x^{4}}{y^{4} - 8 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y - x^{4}}{y^{4} - 8 x}$