Analysis Beispiele

$x^{3} + x y - 2 x = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x y - 2 x) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x y - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + x y' + y - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x y' + y - 2$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + x y' + y - 2 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y - 2 = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 2 = - 3 x^{2} - y$

Schritt 5.1.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = - 3 x^{2} - y + 2$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 3 x^{2} - y + 2$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = - 3 x^{2} - y + 2$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x^{1}} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- 3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 3 x}{1} + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.5

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$y' = - 3 x + \frac{- y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - 3 x - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 x - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$