Analysis Beispiele

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2}) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (π x) + \cos (π y)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π y)]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (π x) + \cos (π y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π x$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π y)])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π y$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π y])$

Schritt 2.5.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π y])$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $π y$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y])$

Schritt 2.6

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π y$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (\sin (π x) + \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Schritt 2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y'))$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) (π y')) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ durch $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y') = 0$ durch $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)) (\cos (π x) π - \sin (π y) π y')}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)} = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ durch $1$ .

$\cos (π x) π - \sin (π y) π y' = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Schritt 5.1.2.2

Stelle die Faktoren in $\cos (π x) π - \sin (π y) π y'$ um.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 \sin (π x) + 2 \cos (π y)}$

Schritt 5.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (π x)$ heraus.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 \cos (π y)}$

Schritt 5.1.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (π y)$ heraus.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))}$

Schritt 5.1.3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sin (π x)) + 2 (\cos (π y))$ heraus.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 (0)}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Schritt 5.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{2 \cdot 0}{2 (\sin (π x) + \cos (π y))}$

Schritt 5.1.3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = \frac{0}{\sin (π x) + \cos (π y)}$

Schritt 5.1.3.2

Dividiere $0$ durch $\sin (π x) + \cos (π y)$ .

$π \cos (π x) - π y' \sin (π y) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $π \cos (π x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ durch $- π \sin (π y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- π y' \sin (π y) = - π \cos (π x)$ durch $- π \sin (π y)$ .

$\frac{- π y' \sin (π y)}{- π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π y' \sin (π y)}{π \sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (π y)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (π y)}{\sin (π y)} = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- π \cos (π x)}{- π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{π \cos (π x)}{π \sin (π y)}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\frac{\cos (π x)}{\sin (π y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $\cos (π x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{\cos (π x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (π y)}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.5.1

Dividiere $\cos (π x)$ durch $1$ .

$y' = \cos (π x) \frac{1}{\sin (π y)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (π y)}$ nach $\csc (π y)$ um.

$y' = \cos (π x) \csc (π y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos (π x) \csc (π y)$