Analysis Beispiele

${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3} = 38392$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (38392)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(6 x - y)}^{4} + 3 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(6 x - y)}^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 6 x - y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x - y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x - y] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 3 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$4 {(6 x - y)}^{3} (6 - y') + 9 y^{2} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(6 x - y)}^{3} \cdot 6 + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} + 4 {(6 x - y)}^{3} (- y') + 9 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$

Schritt 3

Da $38392$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $38392$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $24 {(6 x - y)}^{3} - 4 {(6 x - y)}^{3} y' + 9 y^{2} y'$ um.

$24 {(6 x - y)}^{3} - 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $24 {(6 x - y)}^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y' {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y' {(6 x - y)}^{3}$ heraus.

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + 9 y^{2} y' = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $9 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 {(6 x - y)}^{3}) + y' (9 y^{2})$ heraus.

$y' (- 4 {(6 x - y)}^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y' (- 4 ({(6 x)}^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$y' (- 4 (6^{3} x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} (- y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' (- 4 (216 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(6 x)}^{2} y) + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 {(6 x)}^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.5

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (6^{2} x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 3 (36 x^{2}) y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.7

Mutltipliziere $36$ mit $- 3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 3 (6 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.8

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.9

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.11

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.12

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.13

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.5.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y' (- 4 (216 x^{3} - 108 x^{2} y + 18 x y^{2} - y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (- 4 (216 x^{3}) - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $216$ mit $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} - 4 (- 108 x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $- 108$ mit $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 4 (18 x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) - 4 (- y^{3}) + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y' (- 864 x^{3} + 432 (x^{2} y) - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.1

Entferne die Klammern.

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 (x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.8.2

Entferne die Klammern.

$y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$

Schritt 5.9

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ durch $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}) = - 24 {(6 x - y)}^{3}$ durch $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2})}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}} = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}$ .

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Schritt 5.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.9.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 864 x^{3} + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 864 x^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) + 432 x^{2} y - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $432 x^{2} y$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (864 x^{3}) - (- 432 x^{2} y)$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - 72 x y^{2} + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 72 x y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y) - (72 x y^{2})$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) + 4 y^{3} + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $4 y^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2}) - (- 4 y^{3})$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) + 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})}$

Schritt 5.9.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3}) - (- 9 y^{2})$ heraus.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

Schritt 5.9.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.9.3.11.1

Schreibe $- (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ als $- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})$ um.

$y' = - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{- 1 (864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2})}$

Schritt 5.9.3.11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.11.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Schritt 5.9.3.11.4

Mutltipliziere $\frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$ mit $1$ .

$y' = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 {(6 x - y)}^{3}}{864 x^{3} - 432 x^{2} y + 72 x y^{2} - 4 y^{3} - 9 y^{2}}$