Analysis Beispiele

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{y}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $y'$ von $0$ .

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $3$ und $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{3}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{x^{2}}$ und $y^{2}$ .

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kombinieren.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.4.3.1.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$