Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{16}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{2}{16}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{9}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{2}}{9}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x}{8} + \frac{1}{9} (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{9} (y y')$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{9} y'$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{y \cdot 2}{9}$ und $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{9}$

Schritt 2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 y y'}{9}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x}{8} + \frac{2 y y'}{9} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{x}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y y'}{9} = - \frac{x}{8}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y y'}{9} = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y y'}{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 y y'}{9} = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y y') = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y y')) = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (y y')) = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y y' = \frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Multipliziere $\frac{9}{2} (- \frac{x}{8})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{x}{8}$ .

$y y' = - \frac{9 x}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y y' = - \frac{9 x}{16}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - \frac{9 x}{16}$ durch $y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = - \frac{9 x}{16}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{9 x}{16}}{y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{9 x}{16}}{y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{9 x}{16}}{y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{9 x}{16} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{9 x}{16}$ .

$y' = - \frac{9 x}{y \cdot 16}$

Schritt 5.4.3.3

Bringe $16$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = - \frac{9 x}{16 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{16 y}$