Analysis Beispiele

$e^{x^{2} + y} = 5 x + 4 y + 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y}) = \frac{d}{d x} (5 x + 4 y + 2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y$ .

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 4 y + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 + 4 y' + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 4 y' + 0$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $5 + 4 y'$ und $0$ .

$5 + 4 y'$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$4 y' + 5$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$e^{x^{2} + y} (2 x + y') = 4 y' + 5$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y' = 4 y' + 5$

Schritt 5.1.4.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ um.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} = 4 y' + 5$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 x e^{x^{2} + y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{x^{2} + y} - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x^{2} + y} - 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{x^{2} + y}$ heraus.

$y' (e^{x^{2} + y}) - 4 y' = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4 = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (e^{x^{2} + y}) + y' \cdot - 4$ heraus.

$y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ durch $e^{x^{2} + y} - 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{x^{2} + y} - 4) = 5 - 2 x e^{x^{2} + y}$ durch $e^{x^{2} + y} - 4$ .

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x^{2} + y} - 4$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{x^{2} + y} - 4)}{e^{x^{2} + y} - 4} = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5}{e^{x^{2} + y} - 4} + \frac{- 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 - 2 x e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y} - 4}$