Analysis Beispiele

$x^{2} + 3 x y + y^{3} = 10$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x y + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 3 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 3 (x y') + 3 y + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x + 3 x y' + 3 y + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y$

Schritt 3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 2 x + 3 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y' + 3 y^{2} y' + 3 y = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y' + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x y'$ heraus.

$3 y' x + 3 y^{2} y' = - 2 x - 3 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' x + 3 y' y^{2} = - 2 x - 3 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' x + 3 y' y^{2}$ heraus.

$3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ durch $3 (x + y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x + y^{2}) = - 2 x - 3 y$ durch $3 (x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (x + y^{2})}{3 (x + y^{2})} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + y^{2})}{x + y^{2}} = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{3 (- y)}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} + \frac{- y}{x + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{y}{x + y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y}{x + y^{2}} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x + y^{2})$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x + y^{2}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{(x + y^{2}) \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x + y^{2}) \cdot 3$ um.

$y' = - \frac{2 x}{3 (x + y^{2})} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 3}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (3 y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.9.1

Schreibe $- (2 x + 3 y)$ als $- 1 (2 x + 3 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + 3 y)}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 3 y}{3 (x + y^{2})}$