Analysis Beispiele

$x^{2} + 4 x y + 4 y = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + 4 y) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x y + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 4 (x y' + y) + 4 y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 4 y'$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 4 y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y'$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x y' + 2 x + 4 y + 4 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y' + 4 y + 4 y' = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y' + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 x y' + 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 x y'$ heraus.

$4 y' x + 4 y' = - 2 x - 4 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y'$ heraus.

$4 y' x + 4 y' \cdot 1 = - 2 x - 4 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' x + 4 y' \cdot 1$ heraus.

$4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ durch $4 (x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (x + 1) = - 2 x - 4 y$ durch $4 (x + 1)$ .

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y' (x + 1)}{4 (x + 1)} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{4 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x + 1)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 (x + 1))} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- 4 y}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{4 (- y)}{4 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{y}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x + 1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x + 1) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x - y \cdot 2}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.9.1

Schreibe $- (x + 2 y)$ als $- 1 (x + 2 y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 (x + 1)}$