Analysis Beispiele

$\sin^{2} (3 y) = x + y - 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin^{2} (3 y)) = \frac{d}{d x} (x + y - 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (3 y)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (3 y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) \frac{d}{d x} [\sin (3 y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 y$ .

$2 \sin (3 y) (\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \sin (3 y) \cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$

Schritt 2.5

Stelle die Faktoren von $6 \sin (3 y) \cos (3 y) y'$ um.

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + y' + 0$

Schritt 3.5

Addiere $1 + y'$ und $0$ .

$1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 \cos (3 y) \sin (3 y) y' = 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $6 \cos (3 y) \sin (3 y) y'$ um.

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) = 1 + y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y' = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $6 y' \cos (3 y) \sin (3 y)$ heraus.

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) - y' = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1 = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ durch $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1) = 1$ durch $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1)}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 \cos (3 y) \sin (3 y) - 1}$