Analysis Beispiele

$e^{x} y = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x} y) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} y' + y e^{x}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x} y' + y e^{x} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $e^{x} y' + y e^{x}$ um.

$y' e^{x} + y e^{x} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{x} = - y e^{x}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' e^{x} = - y e^{x}$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' e^{x} = - y e^{x}$ durch $e^{x}$ .

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' e^{x}}{e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- y e^{x}}{e^{x}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$y' = - y$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y$