Analysis Beispiele

$e^{y} = x^{2} + y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{y} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{y} y' = 2 y y' + 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $e^{y} y'$ um.

$y' e^{y} = 2 y y' + 2 x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{y} - 2 y y' = 2 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{y} - 2 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{y}$ heraus.

$y' (e^{y}) - 2 y y' = 2 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (e^{y}) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ durch $e^{y} - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (e^{y} - 2 y) = 2 x$ durch $e^{y} - 2 y$ .

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y} - 2 y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (e^{y} - 2 y)}{e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{y} - 2 y}$