Analysis Beispiele

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ und $y'$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Schritt 5

Löse nach $x^{\frac{1}{3}}$ auf.

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Schritt 5.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 5.2

Ersetze $x^{\frac{1}{3}}$ durch $u$ .

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Schritt 5.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.1

Stelle die Faktoren in $\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ um.

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.3.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

Schritt 5.3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

Schritt 5.3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

Schritt 5.3.4.3.2.4

Dividiere $- y' y^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.4

Ersetze $u$ durch $y'$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$