Analysis Beispiele

$x^{2} - 6 x - 27 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 6 x - 27 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 27$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 27$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 9, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 9) (x + 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 3$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 9$

$x > 9$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 6)}^{2} - 6 \cdot - 6 - 27 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $45$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 27 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(12)}^{2} - 6 \cdot 12 - 27 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $45$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 < x < 9$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 3, 9)$

Schritt 11