Analysis Beispiele

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

Schritt 4

Multipliziere $(1 - u^{2}) u^{3}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

Schritt 4.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

Schritt 4.5

Addiere $2$ und $3$ .

$\int u^{3} - u^{5} d u$

Schritt 4.6

Stelle $u^{3}$ und $- u^{5}$ um.

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $u^{6}$ .

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$