Analysis Beispiele

$5 x^{4} - 24 x^{2} + 16$

Schritt 1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$5 {(x^{2})}^{2} - 24 x^{2} + 16$

Schritt 2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$5 u^{2} - 24 u + 16$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 16 = 80$ und deren Summe gleich $b = - 24$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 24$ aus $- 24 u$ heraus.

$5 u^{2} - 24 (u) + 16$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 24$ um als $- 4$ plus $- 20$

$5 u^{2} + (- 4 - 20) u + 16$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 u^{2} - 4 u - 20 u + 16$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 u^{2} - 4 u) - 20 u + 16$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (5 u - 4) - 4 (5 u - 4)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u - 4$ .

$(5 u - 4) (u - 4)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(5 x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$

Schritt 5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(5 x^{2} - 4) (x^{2} - 2^{2})$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(5 x^{2} - 4) ((x + 2) (x - 2))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(5 x^{2} - 4) (x + 2) (x - 2)$