Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ nicht definiert ist.

$x = - 5, x = 5$

Schritt 2

Da $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von links und $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 5$ von rechts, dann ist $x = - 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 5$

Schritt 3

Da $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $5$ von links und $\frac{4 x}{x^{2} - 25}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $5$ von rechts, dann ist $x = 5$ eine vertikale Asymptote.

$x = 5$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 5, 5$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 1$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 8

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 5, 5$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 10