Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} - 16}$ als ${(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{4} - 16)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{4} - 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} - 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 7.3

Bringe ${(x^{4} - 16)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 10

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 11

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Schritt 11.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Schritt 11.3

Kombiniere $\frac{4}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 ({(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 {(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{\frac{1}{2}}}$