Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} - 6 \sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - 6 \sqrt[3]{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$